4. В треугольнике MNF известно, что ∠N = 90°, ∠M = 30°, отрезок FD - биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике \( MNF \): \( \text{угол } F = 180° - 90° - 30° = 60° \).
2. \( FD \) — биссектриса угла \( F \), поэтому \( \text{угол } NFD = \text{угол } DFM = 60° / 2 = 30° \).
3. Рассмотрим треугольник \( NFD \). \( \text{Угол } N = 90° \), \( \text{угол } NFD = 30° \).
4. В \( \triangle NFD \): \( \tan(30°) = ND / FN \) и \( \tan(30°) = FD / FN \).
5. \( FN = FD / \tan(30°) = 20 / (1/√{3}) = 20√{3} \) см.
6. В \( \triangle MNF \): \( \tan(30°) = FN / MN \).
7. \( MN = FN / \tan(30°) = (20√{3}) / (1/√{3}) = 20 × 3 = 60 \) см.

Ответ: 60 см.