4. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете ВС отметили точку К такую, что ∠АКС = 60°. Найдите отрезок СК, если ВК = 12 см.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) \( \text{угол } B = 180° - 90° - 60° = 30° \).
2. В треугольнике \( AKC \) \( \text{угол } AKC = 60° \) и \( \text{угол } C = 90° \). Следовательно, \( \text{угол } KAC = 180° - 90° - 60° = 30° \).
3. Так как \( \text{угол } KAC = 30° \), то \( \text{угол } BAC = 60° \) и \( \text{угол } KAC = 30° \).
4. Из \( \text{угол } KAC = 30° \) и \( \text{угол } BAC = 60° \), следует, что \( AK \) — биссектриса угла \( BAC \).
5. \( \text{В } \triangle AKC \): \( \text{угол } C = 90° \), \( \text{угол } AKC = 60° \). \( \text{Угол } KAC = 30° \).
6. \( \text{В } \triangle ABC \): \( \text{угол } C = 90° \), \( \text{угол } A = 60° \). \( \text{Угол } B = 30° \).
7. В \( \triangle AKC \) напротив угла в 30° лежит катет \( CK \). В \( \triangle ABC \) напротив угла в 30° лежит катет \( AC \).
8. \( \text{В } \triangle AKC \): \( \tan(60°) = AC/CK \) \( \tan(30°) = CK/AC \).
9. \( CK = AC \tan(30°) = AC / √{3} \).
10. \( \text{В } \triangle ABC \): \( \tan(60°) = BC/AC \) \( \tan(30°) = AC/BC \).
11. \( AC = BC \tan(30°) = BC / √{3} \).
12. \( BC = BK + CK = 12 + CK \).
13. \( AC = (12 + CK) / √{3} \).
14. Подставим \( AC \) в уравнение для \( CK \): \( CK = \frac{(12 + CK) / √{3}}{√{3}} = \frac{12 + CK}{3} \).
15. \( 3 CK = 12 + CK \) \( 2 CK = 12 \) \( CK = 6 \) см.

Ответ: 6 см.