4. В треугольнике PKM: PK = √61, KM = 5, PM = 4. Найдите угол M треугольника.

Применим теорему косинусов к стороне PK, лежащей напротив угла M:

\(PK^2=PM^2+KM^2-2\cdot PM\cdot KM\cos\angle M.\)

Подставим значения и найдём косинус:

\(61=4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cos\angle M,\)

\(61=41-40\cos\angle M,\qquad \cos\angle M=-\frac12.\)

Поскольку угол треугольника находится между \(0^\circ\) и \(180^\circ\), получаем \(\angle M=120^\circ\).

Ответ: \(120^\circ\).