4. Во время диспансеризации в некоторой школе измерили рост одиннадцатиклассников. Оказалось, что рост каждого мальчика больше 169 см и меньше 187 см. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответ их номера: 1) Среди одиннадцатиклассников этой школы обязательно есть мальчик, рост которого равен 165 см. 2) Среди одиннадцатиклассников этой школы обязательно есть мальчик, рост которого равен 190 см. 3) Рост любого мальчика из одиннадцатых классов в этой школе не меньше 169 см. 4) Разница в росте между любыми двумя мальчиками из одиннадцатых классов этой школы не больше 18 см.

Анализ условий:

Известно, что рост каждого мальчика больше 169 см и меньше 187 см. Это означает, что минимальный рост мальчика в этой школе — чуть больше 169 см, а максимальный — чуть меньше 187 см.

Проверка утверждений:

• 1) Утверждение: "Среди одиннадцатиклассников этой школы обязательно есть мальчик, рост которого равен 165 см."
• Неверно. Рост всех мальчиков больше 169 см, поэтому 165 см быть не может.
• 2) Утверждение: "Среди одиннадцатиклассников этой школы обязательно есть мальчик, рост которого равен 190 см."
• Неверно. Рост всех мальчиков меньше 187 см, поэтому 190 см быть не может.
• 3) Утверждение: "Рост любого мальчика из одиннадцатых классов в этой школе не меньше 169 см."
• Верно. По условию, рост каждого мальчика больше 169 см, что означает, что он не может быть меньше 169 см.
• 4) Утверждение: "Разница в росте между любыми двумя мальчиками из одиннадцатых классов этой школы не больше 18 см."
• Неверно. Максимально возможная разница в росте может быть почти 187 см - 169 см = 18 см. Однако, если рост одного мальчика, например, 170 см, а другого 186 см, то разница составит 16 см. Но если рост одного 169.1 см, а другого 186.9 см, то разница будет 17.8 см. Условие "не больше 18 см" не гарантируется, так как мы не знаем точных значений роста. Максимальная разница может быть близка к 18 см, но не обязательно не больше 18 см. Например, если есть мальчик ростом 169.01 см и мальчик ростом 186.99 см, разница будет 17.98 см. Если предположить, что рост измеряется с точностью до десятых долей сантиметра, то минимальный рост может быть 169.1 см, а максимальный 186.9 см. Разница 186.9 - 169.1 = 17.8 см, что меньше 18 см. Однако, если бы минимальный рост был 169.0 см, а максимальный 187.0 см (если бы границы были включены), то разница могла бы быть 18 см. Учитывая, что рост больше 169 и меньше 187, то максимальная разница будет чуть меньше 18 см. Если принять, что рост измеряется с точностью до целых сантиметров, то минимальный рост 170 см, максимальный 186 см. Разница 16 см. Если принять, что рост измеряется с точностью до десятых, то минимальный рост 169.1 см, максимальный 186.9 см. Разница 17.8 см. Если принять, что рост измеряется с точностью до сотых, то минимальный рост 169.01 см, максимальный 186.99 см. Разница 17.98 см. Если предположить, что рост может быть любым действительным числом в интервале (169, 187), то supremum разницы - 18, но оно не достигается. То есть, разница всегда меньше 18. Следовательно, утверждение, что разница НЕ БОЛЬШЕ 18 см, является верным, так как разница всегда строго меньше 18 см.

Ответ: 3, 4.