4. Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 28 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение:

Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где каждый последующий член меньше предыдущего на одно и то же число (разность прогрессии).

Дано:

• Первый член прогрессии (расстояние, пройденное за первую секунду): $$a_1 = 28$$ м.
• Разность прогрессии: $$d = -4$$ м (так как с каждой секундой проезжает на 4 м меньше).

Найти: Общее расстояние, пройденное до полной остановки. Это сумма членов арифметической прогрессии.

Сначала нам нужно найти, сколько секунд автомобиль тормозил до полной остановки. Это произойдет, когда расстояние, проходимое за секунду, станет равным нулю или отрицательным. Найдем номер члена прогрессии, который равен 0 (или меньше 0).

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$

Приравниваем $$a_n$$ к 0:

\[ 0 = 28 + (n-1)(-4) \]

\[ 0 = 28 - 4n + 4 \]

\[ 0 = 32 - 4n \]

\[ 4n = 32 \]

\[ n = \frac{32}{4} \]

\[ n = 8 \]

Значит, за 8-ю секунду автомобиль проедет 0 метров (или очень близко к 0, если бы мы учитывали замедление непрерывно). Полная остановка произойдет после 8-й секунды. Таким образом, нам нужно просуммировать расстояния за первые 7 секунд, так как за 8-ю секунду он уже не проедет (или проедет очень мало, что для расчетов означает конец движения).

Нам нужно найти сумму первых 7 членов прогрессии ($$S_7$$).

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

Мы уже нашли $$n=8$$, значит $$a_8 = 0$$. Но для расчета $$S_7$$ нам нужно $$a_7$$.

$$a_7 = a_1 + (7-1)d = 28 + 6(-4) = 28 - 24 = 4$$ м.

Теперь найдем сумму первых 7 секунд ($$S_7$$):

\[ S_7 = \frac{7}{2}(a_1 + a_7) \]

\[ S_7 = \frac{7}{2}(28 + 4) \]

\[ S_7 = \frac{7}{2}(32) \]

\[ S_7 = 7 \times 16 \]

\[ S_7 = 112 \]

Значит, автомобиль проехал 112 метров до полной остановки.

Ответ: 112