4. Вычисли: \( \frac{27^2 \cdot (3^4)}{(9 \cdot 27^3)} \).

Решение:

Приведем все числа к основанию 3.

1. Запишем степени: \( 27 = 3^3 \) и \( 9 = 3^2 \).
2. Подставим в выражение: \[ \frac{(3^3)^2 \cdot 3^4}{(3^2 \cdot (3^3)^3)} \]
3. Упростим степени: \[ \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^4}{3^2 \cdot 3^{3 \cdot 3}} = \frac{3^6 \cdot 3^4}{3^2 \cdot 3^9} \]
4. Сложим показатели степеней в числителе и знаменателе: \[ \frac{3^{6+4}}{3^{2+9}} = \frac{3^{10}}{3^{11}} \]
5. Разделим степени с одинаковым основанием, вычитая показатели: \[ 3^{10-11} = 3^{-1} \]
6. Представим отрицательную степень как дробь: \[ \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3} \]

Ответ: \( \frac{1}{3} \).