4. Вычислить а) 8! / 9! б) C³ - A⁴

Решение:

а) Вычисление \( \frac{8!}{9!} \)

По определению факториала, \( n! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n \). Следовательно, \( 9! = 9 \cdot 8! \).

Теперь подставим это в выражение:

\[ \frac{8!}{9!} = \frac{8!}{9 \cdot 8!} \]

Сократим \( 8! \) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{8!}{9 \cdot 8!} = \frac{1}{9} \]

б) Вычисление \( C_3^3 - A_9^4 \)

Напомним формулы для сочетаний и размещений:

Сочетания: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Размещения: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)

Вычислим \( C_3^3 \):

\[ C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = \frac{1}{0!} = \frac{1}{1} = 1 \] (так как \( 0! = 1 \)).

Вычислим \( A_9^4 \):

\[ A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \]

\[ 9 \cdot 8 = 72 \]

\[ 72 \cdot 7 = 504 \]

\[ 504 \cdot 6 = 3024 \]

Теперь вычтем одно из другого:

\[ C_3^3 - A_9^4 = 1 - 3024 = -3023 \]

Ответ: а) \( \frac{1}{9} \); б) \( -3023 \).