4. Вычислить: a) \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} - 7\); б) \((4.6 \cdot 10^4) \cdot (2.5 \cdot 10^{-6})\); в) \((5 - \sqrt{3})^2 + 10\sqrt{3}\); г) \(\sqrt{(5-2\sqrt{7})^2} - 2\sqrt{7}\)

Решение:

а) \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} - 7\)

1. Сначала перемножим корни: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{8 \cdot 6 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12 \).
2. Теперь вычтем 7: \( 12 - 7 = 5 \).

б) \((4.6 \cdot 10^4) \cdot (2.5 \cdot 10^{-6})\)

1. Перемножим числовые части: \( 4.6 \cdot 2.5 = 11.5 \).
2. Перемножим степени десяти: \( 10^4 \cdot 10^{-6} = 10^{4+(-6)} = 10^{-2} \).
3. Объединим результаты: \( 11.5 \cdot 10^{-2} = 1.15 \).

в) \((5 - \sqrt{3})^2 + 10\sqrt{3}\)

1. Раскроем квадрат двучлена: \((5 - \sqrt{3})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 25 - 10\sqrt{3} + 3 \).
2. Упростим: \( 25 - 10\sqrt{3} + 3 = 28 - 10\sqrt{3} \).
3. Теперь добавим \( 10\sqrt{3} \): \( (28 - 10\sqrt{3}) + 10\sqrt{3} = 28 \).

г) \(\sqrt{(5-2\sqrt{7})^2} - 2\sqrt{7}\)

1. Применим свойство \(\sqrt{a^2} = |a| \): \(\sqrt{(5-2\sqrt{7})^2} = |5-2\sqrt{7}| \).
2. Определим знак выражения \( 5-2\sqrt{7} \). Сравним \( 5 \) и \( 2\sqrt{7} \). Возведём оба числа в квадрат: \( 5^2 = 25 \) и \((2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28 \).
3. Так как \( 25 < 28 \), то \( 5 < 2\sqrt{7} \), следовательно, \( 5 - 2\sqrt{7} < 0 \).
4. Поэтому \( |5-2\sqrt{7}| = -(5-2\sqrt{7}) = -5 + 2\sqrt{7} \).
5. Теперь выполним вычитание: \( (-5 + 2\sqrt{7}) - 2\sqrt{7} = -5 \).

Ответ: а) 5; б) 1.15; в) 28; г) -5.