4. Вычислите: а) 7⁹ ⋅ 7¹¹ / 7¹⁸; б) (3⁴ ⋅ 2¹¹) / (4 ⋅ 3⁶).

Решение:

а) Вычислим значение выражения 7⁹ ⋅ 7¹¹ / 7¹⁸:

1. Используем свойство степеней с одинаковым основанием при умножении: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

\[ 7^9 \cdot 7^{11} = 7^{9+11} = 7^{20} \]

2. Теперь разделим: \( 7^{20} / 7^{18} \). Используем свойство степеней с одинаковым основанием при делении: \( a^m / a^n = a^{m-n} \).

\[ \frac{7^{20}}{7^{18}} = 7^{20-18} = 7^2 = 49 \]

б) Вычислим значение выражения (3⁴ ⋅ 2¹¹) / (4 ⋅ 3⁶):

1. Запишем число 4 как степень двойки: \( 4 = 2^2 \).

\[ \frac{3^4 \cdot 2^{11}}{2^2 \cdot 3^6} \]

2. Применим свойство степеней при делении: \( a^m / a^n = a^{m-n} \).

\[ \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} \]

\[ \frac{2^{11}}{2^2} = 2^{11-2} = 2^9 \]

3. Таким образом, выражение примет вид:

\[ 3^{-2} \cdot 2^9 = \frac{1}{3^2} \cdot 2^9 = \frac{2^9}{3^2} \]

4. Вычислим значения:

\[ 2^9 = 512 \]

\[ 3^2 = 9 \]

\[ \frac{512}{9} \]

Ответ: а) 49; б) $$\frac{512}{9}$$.