4. Выполните действие: $\frac{x}{2x+1}\cdot\left(\frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x^2-x-6}\right)-\frac{x^2-9}{6-2x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Выполните действие: $\frac{x}{2x+1}\cdot\left(\frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x^2-x-6}\right)-\frac{x^2-9}{6-2x}$.$ Фото задания

4. Выполните действие: $\frac{x}{2x+1}\cdot\left(\frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x^2-x-6}\right)-\frac{x^2-9}{6-2x}$.

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, $x^2-9=(x-3)(x+3)$, $6-2x=-2(x-3)$. Ограничения: $x\ne-\frac12,-2,3$.

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+2}+\frac{5}{(x-3)(x+2)}=\frac{2x(x+2)+(x-3)+5}{(x-3)(x+2)}$.

Упростим числитель: $2x(x+2)+x-3+5=2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$. Значит, выражение в скобках равно $\frac{2x+1}{x-3}$.

Тогда первая часть равна $\frac{x}{2x+1}\cdot\frac{2x+1}{x-3}=\frac{x}{x-3}$.

Вторая дробь: $\frac{x^2-9}{6-2x}=-\frac{x+3}{2}$. Поэтому

$\frac{x}{x-3}-\left(-\frac{x+3}{2}\right)=\frac{2x+(x+3)(x-3)}{2(x-3)}=\frac{x^2+2x-9}{2(x-3)}$.

Ответ: $\frac{x^2+2x-9}{2(x-3)}$, где $x\ne-\frac12,-2,3$.

4. Выполните действие: \(\frac{x}{2x+1}\cdot\left(\frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x^2-x-6}\right)-\frac{x^2-9}{6-2x}\).

Ответ: