4. Выполните действия: $\frac{x}{3x+1}\cdot\left(\frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x^2-x-6}\right)-\frac{x^2-9}{6-2x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Выполните действия: $\frac{x}{3x+1}\cdot\left(\frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x^2-x-6}\right)-\frac{x^2-9}{6-2x}$.$ Фото задания

4. Выполните действия: $\frac{x}{3x+1}\cdot\left(\frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x^2-x-6}\right)-\frac{x^2-9}{6-2x}$.

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, $x^2-9=(x-3)(x+3)$, $6-2x=-2(x-3)$.

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+2}+\frac{5}{(x-3)(x+2)}=\frac{2x(x+2)+(x-3)+5}{(x-3)(x+2)}$.

Числитель равен $2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$, поэтому скобки равны $\frac{2x+1}{x-3}$.

Также $\frac{x^2-9}{6-2x}=-\frac{x+3}{2}$. Значит, исходное выражение равно

$\frac{x(2x+1)}{(3x+1)(x-3)}+\frac{x+3}{2}=\frac{2x(2x+1)+(x+3)(3x+1)(x-3)}{2(3x+1)(x-3)}$.

Область допустимых значений: $x\ne-\frac13,-2,3$.

Ответ: $\frac{2x(2x+1)+(x+3)(3x+1)(x-3)}{2(3x+1)(x-3)}$, где $x\ne-\frac13,-2,3$.

4. Выполните действия: \(\frac{x}{3x+1}\cdot\left(\frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x^2-x-6}\right)-\frac{x^2-9}{6-2x}\).

Ответ: