4. Высота KP треугольника MKN делит его сторону MN на отрезки MP и PN. Найдите стороны MK и KN, если MP = 4√3 см, PN = 3 см, ∠MNK = 60°.

Так как KP — высота, то треугольник KPN прямоугольный, а \(\angle KNP=60°\).

В прямоугольном треугольнике KPN:

\(\cos 60°=\frac{PN}{KN}\), поэтому \(\frac12=\frac{3}{KN}\), откуда \(KN=6\) см.

По теореме Пифагора:

\(KP=\sqrt{KN^2-PN^2}=\sqrt{36-9}=3\sqrt3\) см.

В прямоугольном треугольнике KMP:

\(MK=\sqrt{MP^2+KP^2}=\sqrt{(4\sqrt3)^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{48+27}=5\sqrt3\) см.

Ответ: \(KN=6\) см, \(MK=5\sqrt3\) см.