4) Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.

1. Пусть высота равна h. По теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников, образованных высотой: a^2 = h^2 + 8^2 и b^2 = h^2 + 9^2, где a и b - стороны треугольника.
2. Пусть другая высота равна H. По условию, H = h/2.
3. Площадь треугольника S = 0.5 * (8+9) * h = 0.5 * 17 * h. Также S = 0.5 * a * H = 0.5 * a * (h/2).
4. Из равенства площадей: 17h = a * (h/2), откуда a = 34.
5. Подставляем a в первое уравнение: 34^2 = h^2 + 8^2 => 1156 = h^2 + 64 => h^2 = 1092 => h = sqrt(1092) ≈ 33.05.