4. Задача на тему «Второй признак равенства треугольников». На биссектрисе угла А взята точка Е, а на сторонах этого угла точки В и С такие, что угол АЕС равен углу АЕВ. Доказать, что ВЕ равно СЕ.

Доказательство:

Дано: \(\triangle ABC\), \(AE\) — биссектриса \(\angle BAC\), \(E\) — точка на \(AE\), \(B\) и \(C\) — точки на сторонах \(\angle BAC\), \(\angle AEC = \angle AEB\).

Доказать: \(BE = CE\).

Доказательство:

1. Рассмотрим \(\triangle AEB\) и \(\triangle AEC\).
• \(\angle EAB = \angle EAC\) (так как \(AE\) — биссектриса \(\angle BAC\) по условию).
• \(AE\) — общая сторона.
• \(\angle AEB = \angle AEC\) (по условию).
2. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), \(\triangle AEB = \triangle AEC\).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \(BE = CE\).

Вывод: Стороны \(BE\) и \(CE\) равны.