4. Задача о квадратной плитке. Прямоугольную площадку размером 420 см × 588 см нужно полностью выложить одинаковыми квадратными плитками. Плитки нельзя разрезать, а стороны плиток должны совпадать со сторонами площадки. а) Какова наибольшая возможная длина стороны плитки? (с помощью НОД и НОК) б) Сколько таких плиток понадобится?

а) Наибольшая сторона квадратной плитки должна делить обе стороны площадки, значит, она равна НОД чисел 420 и 588.

По алгоритму Евклида: 588 − 420 = 168; 420 = 2 · 168 + 84; 168 = 2 · 84. Следовательно, НОД(420, 588) = 84 см.

Проверим через НОК: НОК(420, 588) = (420 · 588) / 84 = 2940 см. Число плиток равно отношению площадей площадки и плитки; эквивалентно, оно равно 2940 / 84 = 35.

б) По сторонам помещается 420 / 84 = 5 плиток и 588 / 84 = 7 плиток. Всего 5 · 7 = 35 плиток.

Ответ: а) 84 см; б) 35 плиток.