4. Записать координаты точки пересечения прямой АВ и луча CD, если: A(-4;1), B(2;-5), C(5;1), D(-1;-4).

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно найти уравнение прямой AB и уравнение прямой CD, а затем найти точку их пересечения. Однако, поскольку луч CD имеет направление, нам нужно будет проверить, попадает ли точка пересечения на сам луч.

1. Уравнение прямой AB:
   Найдем угловой коэффициент (наклон) прямой AB:
   \[ m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-5 - 1}{2 - (-4)} = \frac{-6}{6} = -1 \]
   Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом \(y - y_1 = m(x - x_1)\) для точки A(-4;1):
   \[ y - 1 = -1(x - (-4)) \]
   \[ y - 1 = -1(x + 4) \]
   \[ y - 1 = -x - 4 \]
   \[ y = -x - 3 \] (Уравнение прямой AB)
2. Уравнение прямой CD:
   Найдем угловой коэффициент (наклон) прямой CD:
   \[ m_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 1}{-1 - 5} = \frac{-5}{-6} = \frac{5}{6} \]
   Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом для точки C(5;1):
   \[ y - 1 = \frac{5}{6}(x - 5) \]
   \[ y - 1 = \frac{5}{6}x - \frac{25}{6} \]
   \[ y = \frac{5}{6}x - \frac{25}{6} + 1 \]
   \[ y = \frac{5}{6}x - \frac{25}{6} + \frac{6}{6} \]
   \[ y = \frac{5}{6}x - \frac{19}{6} \] (Уравнение прямой CD)
3. Найдем точку пересечения прямых AB и CD, приравняв их уравнения:
   \[ -x - 3 = \frac{5}{6}x - \frac{19}{6} \]
   Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей:
   \[ -6x - 18 = 5x - 19 \]
   Перенесем члены с 'x' в одну сторону, а числа — в другую:
   \[ -18 + 19 = 5x + 6x \]
   \[ 1 = 11x \]
   \[ x = \frac{1}{11} \]
4. Найдем значение 'y', подставив 'x' в уравнение прямой AB:
   \[ y = -x - 3 \]
   \[ y = -\frac{1}{11} - 3 \]
   \[ y = -\frac{1}{11} - \frac{33}{11} \]
   \[ y = -\frac{34}{11} \]
5. Проверим, лежит ли точка пересечения (\(\frac{1}{11}; -\frac{34}{11}\)) на луче CD.
   Луч CD исходит из точки C(5;1) и идет в направлении точки D(-1;-4). Это значит, что для точек на луче CD, x-координата должна быть меньше или равна 5, и y-координата должна быть меньше или равна 1 (так как направление от C к D имеет отрицательный наклон).
   \[ x = \frac{1}{11} \approx 0.09 \]
   \[ y = -\frac{34}{11} \approx -3.09 \]
   \[ x = \frac{1}{11} \] меньше 5.
6. Для проверки направления луча CD, нужно убедиться, что точка пересечения находится на полупрямой, исходящей из C и проходящей через D.
   Для этого можно проверить, лежит ли точка пересечения на прямой CD и находится ли она «за» или «перед» C в направлении D.
   Вектор CD = D - C = (-1 - 5, -4 - 1) = (-6, -5).
   Вектор CP = (точка пересечения) - C = (\(\frac{1}{11} - 5\), \(-\frac{34}{11} - 1\)) = (\(\frac{1 - 55}{11}\), \(\frac{-34 - 11}{11}\)) = (\(-\frac{54}{11}\), \(-\frac{45}{11}\)).
   \[ P_x = C_x + t \times (D_x - C_x) \]
   \[ \frac{1}{11} = 5 + t \times (-1 - 5) \]
   \[ \frac{1}{11} = 5 - 6t \]
   \[ 6t = 5 - \frac{1}{11} = \frac{55 - 1}{11} = \frac{54}{11} \]
   \[ t = \frac{54}{11 \times 6} = \frac{9}{11} \]
   Так как \(t = \frac{9}{11}\) находится в интервале [0, 1] (именно в этом интервале лежат точки на отрезке CD, а для луча t >= 0), точка пересечения лежит на луче CD.

Ответ: (\(\frac{1}{11}; -\frac{34}{11}\))