40. Дан параллелограмм ABCD (рис. 38). На его диагонали BD отложены равные отрезки BG и DF. Докажите, что четырехугольник AGCF — параллелограмм.

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD через O.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AO=OC\) и \(BO=OD\).
2. Точки B, G, O, F, D лежат на одной прямой. По условию \(BG=DF\). Тогда \(OG=OB-BG\), а \(OF=OD-DF\). Так как \(OB=OD\) и \(BG=DF\), получаем \(OG=OF\).
3. Следовательно, O — середина отрезка AC и середина отрезка GF. Значит, диагонали четырехугольника AGCF взаимно делятся пополам.
4. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.