40. Используя переместительное и сочетательное свойства натуральных чисел, докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.

Пусть дроби имеют одинаковый знаменатель c (где c — натуральное число). Тогда по правилу сложения дробей:

\(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\).

По переместительному свойству сложения натуральных чисел \(a+b=b+a\). Поэтому

\(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}=\frac{b+a}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\).

Значит, сложение дробей с одинаковыми знаменателями переместительно.

Для трёх таких дробей:

\(\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c}=\frac{(a+b)+d}{c}\).

По сочетательному свойству сложения натуральных чисел \((a+b)+d=a+(b+d)\). Следовательно,

\(\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c}=\frac{a+(b+d)}{c}=\frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right)\).

Значит, сложение дробей с одинаковыми знаменателями сочетательно.