41.41. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀ и осью x: а) f(x) = x⁶ − 4x, x₀ = 1; б) f(x) = √x − 3, x₀ = 1/4; в) f(x) = −x⁵ − 2x² + 2, x₀ = −1; г) f(x) = 25/x + 2, x₀ = 5/4.

Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке: \(\tan\alpha=f'(x_0)\).

1. а) \(f'(x)=6x^5-4\). Тогда \(f'(1)=6-4=2\).
2. б) \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Тогда \(f'\left(\frac14\right)=\frac{1}{2\cdot\frac12}=1\).
3. в) \(f'(x)=-5x^4-4x\). Тогда \(f'(-1)=-5+4=-1\).
4. г) \(f'(x)=-\frac{25}{x^2}\). Тогда \(f'\left(\frac54\right)=-\frac{25}{(5/4)^2}=-\frac{25}{25/16}=-16\).

Ответ: а) 2; б) 1; в) −1; г) −16.