41.42. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀ и осью x: а) f(x) = 10 − cos x, x₀ = 3π/2; б) f(x) = 2 tg x, x₀ = π/4; в) f(x) = 4 − sin x, x₀ = 6π; г) f(x) = −4 ctg x, x₀ = −π/4.

Используем формулу \(\tan\alpha=f'(x_0)\).

1. а) \(f'(x)=\sin x\), поэтому \(f'\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1\).
2. б) \(f'(x)=2\sec^2x=\frac{2}{\cos^2x}\). Поэтому \(f'\left(\frac\pi4\right)=\frac{2}{(\sqrt2/2)^2}=4\).
3. в) \(f'(x)=-\cos x\), поэтому \(f'(6\pi)=-1\).
4. г) \(f'(x)=-4(\operatorname{ctg}x)'=4\csc^2x=\frac{4}{\sin^2x}\). Поэтому \(f'\left(-\frac\pi4\right)=\frac{4}{(-\sqrt2/2)^2}=8\).

Ответ: а) −1; б) 4; в) −1; г) 8.