412 В опросе участвует 1000 школьников. Им задают два вопроса: «Собираетесь ли вы продолжать обучение после школы?» и «Участвуете ли вы в олимпиадах по математике?». Вероятность ответа «да» на первый вопрос равна 0,8. Вероятность ответа «да» на второй вопрос равна 0,1. Для какого из вопросов дисперсия случайной величины «число ответов „да“» больше и на сколько?

Решение:

Для каждого вопроса можно рассматривать случайную величину \( X \) — число ответов «да». Это биномиальное распределение, так как каждый школьник либо отвечает «да», либо «нет».

Первый вопрос: «Собираетесь ли вы продолжать обучение после школы?»

Вероятность ответа «да» \( p_1 = 0,8 \). Количество школьников \( n = 1000 \).

Дисперсия \( DX_1 = n \cdot p_1 \cdot (1-p_1) \).

\( 1-p_1 = 1 - 0,8 = 0,2 \).

\( DX_1 = 1000 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 800 \cdot 0,2 = 160 \).

Второй вопрос: «Участвуете ли вы в олимпиадах по математике?»

Вероятность ответа «да» \( p_2 = 0,1 \). Количество школьников \( n = 1000 \).

Дисперсия \( DX_2 = n \cdot p_2 \cdot (1-p_2) \).

\( 1-p_2 = 1 - 0,1 = 0,9 \).

\( DX_2 = 1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9 = 100 \cdot 0,9 = 90 \).

Сравнение дисперсий:

\( DX_1 = 160 \)

\( DX_2 = 90 \)

Дисперсия для первого вопроса больше.

Разница: \( DX_1 - DX_2 = 160 - 90 = 70 \).

Ответ: Дисперсия для первого вопроса («Собираетесь ли вы продолжать обучение после школы?») больше на 70.