413 Стрелок стреляет по мишени до тех пор, пока не попадёт в неё три раза. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле одна и та же — p = 0,6. Найдите стандартное отклонение случайной величины X «число выстрелов».

Решение:

Это задача на геометрическое распределение. Случайная величина X — число испытаний до первого успеха (т.е. до третьего попадания).

Вероятность успеха \( p = 0,6 \).

Нам нужно найти стандартное отклонение случайной величины, которая представляет собой число выстрелов до третьего попадания.

Для геометрического распределения, где \( X \) — число испытаний до первого успеха, математическое ожидание равно \( E(X) = \frac{1}{p} \), а дисперсия равна \( D(X) = \frac{1-p}{p^2} \).

Однако, в условии задачи сказано, что \( X \) — «число выстрелов». Если \( X \) — это номер выстрела, при котором произошло третье попадание, то это не совсем стандартное геометрическое распределение.

Давайте предположим, что \( X \) — это число неудачных выстрелов ДО третьего попадания. Тогда \( X+3 \) — общее число выстрелов. В этом случае \( X \) следует геометрическому распределению с параметром \( p \) (вероятность попадания).

Пусть \( Y \) — число неудачных выстрелов до третьего попадания. Тогда \( Y \) следует отрицательному биномиальному распределению с параметрами \( r=3 \) (число успехов) и \( p=0,6 \) (вероятность успеха).

Математическое ожидание числа неудачных испытаний до \( r \) успехов: \( E(Y) = \frac{r(1-p)}{p} \).

Дисперсия числа неудачных испытаний до \( r \) успехов: \( D(Y) = \frac{r(1-p)}{p^2} \).

В нашем случае \( r=3 \) и \( p=0,6 \). Тогда \( 1-p = 0,4 \).

\( D(Y) = \frac{3 \cdot (0,4)}{(0,6)^2} = \frac{1,2}{0,36} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3} \) ≈ 3,33.

Стандартное отклонение \( \sigma(Y) = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{\frac{10}{3}} \) ≈ 1,826.

Если \( X \) — общее число выстрелов, то \( X = Y + 3 \). Тогда \( \sigma(X) = \sigma(Y) \).

Примечание: В условии задачи указано «число выстрелов», что может трактоваться по-разному. Наиболее вероятной интерпретацией является число неудачных выстрелов до третьего попадания, или общее число выстрелов, если оно на 3 больше числа неудач.

Ответ: стандартное отклонение равно \(\sqrt{\frac{10}{3}} \) ≈ 1,826.