414 Пусть X — число успехов в 180 испытаниях Бернулли. Известно, что DX = 25. Найдите вероятность успеха p в одном испытании.

Решение:

Случайная величина \( X \) подчиняется биномиальному распределению \( B(n, p) \), где \( n=180 \) — число испытаний, \( p \) — вероятность успеха в одном испытании.

Дисперсия биномиального распределения вычисляется по формуле: \( D(X) = n \cdot p \cdot (1-p) \).

По условию задачи известно, что \( D(X) = 25 \) и \( n = 180 \).

Подставляем известные значения в формулу дисперсии:

\( 180 \cdot p \cdot (1-p) = 25 \)

Разделим обе части уравнения на 180:

\( p \cdot (1-p) = \frac{25}{180} \)

Упростим дробь:

\( p \cdot (1-p) = \frac{5}{36} \)

Раскроем скобки:

\( p - p^2 = \frac{5}{36} \)

Приведём к квадратному уравнению:

\( p^2 - p + \frac{5}{36} = 0 \)

Умножим обе части на 36, чтобы избавиться от дроби:

\( 36p^2 - 36p + 5 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \).

\( a = 36, b = -36, c = 5 \).

\( D = (-36)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 5 = 1296 - 720 = 576 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 \).

Найдем корни уравнения для \( p \):

\( p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 24}{2 \cdot 36} = \frac{60}{72} = \frac{5}{6} \).

\( p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 24}{2 \cdot 36} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6} \).

Оба значения \( p = \frac{5}{6} \) и \( p = \frac{1}{6} \) являются допустимыми вероятностями (от 0 до 1).

Ответ: вероятность успеха \( p \) может быть равна \(\frac{5}{6} \) или \(\frac{1}{6}\).