415. x⁴dy = y²dx.

Решение:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные: \( \frac{dy}{y^2} = \frac{dx}{x^4} \)

Проинтегрируем обе части уравнения:

\( \int \frac{1}{y^2} dy = \int \frac{1}{x^4} dx \)

\( \int y^{-2} dy = \int x^{-4} dx \)

\( -y^{-1} = -\frac{1}{3}x^{-3} + C \)

\( -\frac{1}{y} = -\frac{1}{3x^3} + C \)

Умножим обе части на -1:

\( \frac{1}{y} = \frac{1}{3x^3} - C \)

Обозначим \( C_1 = -C \), тогда:

\( \frac{1}{y} = \frac{1}{3x^3} + C_1 \)

Выразим \( y \):

\( y = \frac{1}{\frac{1}{3x^3} + C_1} = \frac{3x^3}{1 + 3C_1x^3} \)

Обозначим \( C = 3C_1 \), тогда:

\( y = \frac{3x^3}{1 + Cx^3} \)

Ответ: \( y = \frac{3x^3}{1 + Cx^3} \)