418. Найти кривую, касательная к которой отстоит от начала координат на величину, равную модулю абсциссы точки касания.

Решение:

Пусть \( (x_0, y_0) \) — точка на кривой. Уравнение касательной к кривой \( y = f(x) \) в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид:

\( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \)

или

\( y' (x - x_0) - (y - y_0) = 0 \)

где \( y' = \frac{dy}{dx} \) — производная в точке \( (x_0, y_0) \).

Расстояние от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) вычисляется по формуле:

\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

В нашем случае, касательная записана как \( y'x - x y' - y + y_0 = 0 \).

Здесь \( A = y' \), \( B = -1 \), \( C = -x y' + y_0 \). Точка, от которой ищем расстояние — начало координат \( (0, 0) \).

\( d = \frac{|y'(0) - 1(0) - x y' + y_0|}{\sqrt{(y')^2 + (-1)^2}} \) = \( \frac{|-x y' + y_0|}{\sqrt{(y')^2 + 1}} \)

По условию задачи, это расстояние равно модулю абсциссы точки касания, то есть \( |x_0| \).

\( \frac{|y_0 - x_0 y'|}{\sqrt{1 + (y')^2}} = |x_0| \)

Возведём обе части в квадрат:

\( \frac{(y_0 - x_0 y')^2}{1 + (y')^2} = x_0^2 \)

\( (y_0 - x_0 y')^2 = x_0^2 (1 + (y')^2) \)

\( y_0^2 - 2x_0 y_0 y' + x_0^2 (y')^2 = x_0^2 + x_0^2 (y')^2 \)

\( y_0^2 - 2x_0 y_0 y' = x_0^2 \)

\( 2x_0 y_0 y' = y_0^2 - x_0^2 \)

\( y' = \frac{y_0^2 - x_0^2}{2x_0 y_0} \)

Заменяя \( y_0 \) на \( y \) и \( x_0 \) на \( x \) (так как \( y' \) — это производная \( \frac{dy}{dx} \) в точке \( (x, y) \)), получаем дифференциальное уравнение:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy} \)

Это однородное дифференциальное уравнение. Разделим числитель и знаменатель на \( x^2 \) (для числителя) и \( x \) (для знаменателя):

\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y^2}{x^2} - 1}{2\frac{y}{x}} \)

Сделаем замену \( z = \frac{y}{x} \), тогда \( y = zx \) и \( \frac{dy}{dx} = z + x\frac{dz}{dx} \).

\( z + x\frac{dz}{dx} = \frac{z^2 - 1}{2z} \)

\( x\frac{dz}{dx} = \frac{z^2 - 1}{2z} - z \)

\( x\frac{dz}{dx} = \frac{z^2 - 1 - 2z^2}{2z} \)

\( x\frac{dz}{dx} = \frac{-z^2 - 1}{2z} \)

\( x\frac{dz}{dx} = -\frac{z^2 + 1}{2z} \)

Разделяем переменные:

\( \frac{2z}{z^2 + 1} dz = -\frac{dx}{x} \)

Интегрируем обе части:

\( \int \frac{2z}{z^2 + 1} dz = -\int \frac{dx}{x} \)

Левая часть: \( \int \frac{d(z^2+1)}{z^2+1} = \ln|z^2 + 1| \).

Правая часть: \( -\int \frac{dx}{x} = -\ln|x| + C \).

\( \ln(z^2 + 1) = -\ln|x| + C \)

\( \ln(z^2 + 1) = \ln(x^{-1}) + C \)

\( z^2 + 1 = e^{\ln(x^{-1}) + C} = e^C \cdot e^{\ln(x^{-1})} = C_1 \cdot x^{-1} \)

Обозначим \( C_1 = e^C \) (поскольку \( z^2+1 > 0 \), \( C_1 > 0 \)).

\( z^2 + 1 = \frac{C_1}{x} \)

Подставляем \( z = \frac{y}{x} \):

\( (\frac{y}{x})^2 + 1 = \frac{C_1}{x} \)

\( \frac{y^2}{x^2} + 1 = \frac{C_1}{x} \)

Умножаем на \( x^2 \):

\( y^2 + x^2 = C_1 x \)

Перенесём \( C_1x \) в левую часть:

\( y^2 + x^2 - C_1 x = 0 \)

Это уравнение окружности. Его можно привести к стандартному виду, выделив полный квадрат по \( x \):

\( (x^2 - C_1 x) + y^2 = 0 \)

\( (x^2 - C_1 x + (\frac{C_1}{2})^2) + y^2 = (\frac{C_1}{2})^2 \)

\( (x - \frac{C_1}{2})^2 + y^2 = (\frac{C_1}{2})^2 \)

Это уравнение окружности с центром в точке \( (\frac{C_1}{2}, 0) \) и радиусом \( \frac{C_1}{2} \).

Ответ: Уравнение кривой имеет вид \( y^2 + x^2 = Cx \), что соответствует семейству окружностей, проходящих через начало координат.