417. Сравните: а) 2√7 и 7√2; б) 3√120 и 2√270; в) ½√6 и 6√(½).

а) Оба числа положительны. Сравним их квадраты: \((2\sqrt{7})^2=28\), \((7\sqrt{2})^2=98\). Поэтому \(2\sqrt{7}<7\sqrt{2}\).

б) Упростим: \(3\sqrt{120}=3\cdot2\sqrt{30}=6\sqrt{30}\), а \(2\sqrt{270}=2\cdot3\sqrt{30}=6\sqrt{30}\). Следовательно, числа равны.

в) \(\frac{1}{2}\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}\), а \(6\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\). Сравним квадраты: \((\frac{\sqrt{6}}{2})^2=\frac{3}{2}\), \((3\sqrt{2})^2=18\). Поэтому \(\frac{1}{2}\sqrt{6}<6\sqrt{\frac{1}{2}}\).

Ответ: а) \(2\sqrt{7}<7\sqrt{2}\); б) \(3\sqrt{120}=2\sqrt{270}\); в) \(\frac{1}{2}\sqrt{6}<6\sqrt{\frac{1}{2}}\).