419. Найдите площадь ромба, если: а) его диагонали равны 6 и 14; б) одна из диагоналей равна 16, а сторона равна 10; в) его сторона равна 4, а один из углов равен 30°; г) его периметр равен 32, а высота равна 5.

Решение:

а) Площадь ромба \( S = 0.5 d_1 d_2 \). \( S = 0.5 \times 6 \times 14 = 42 \).

б) Пусть \( d_1 = 16 \) и \( a = 10 \). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. \( (0.5 d_1)^2 + (0.5 d_2)^2 = a^2 \). \( (16/2)^2 + (d_2/2)^2 = 10^2 \). \( 8^2 + (d_2/2)^2 = 100 \). \( 64 + (d_2/2)^2 = 100 \). \( (d_2/2)^2 = 36 \). \( d_2/2 = 6 \). \( d_2 = 12 \). \( S = 0.5 \times 16 \times 12 = 96 \).

в) Площадь ромба \( S = a^2 in \alpha \). \( S = 4^2 \times in 30^{\circ} = 16 \times 0.5 = 8 \).

г) Периметр \( P = 4a = 32 \), следовательно, сторона \( a = 32 / 4 = 8 \). Площадь ромба \( S = a \times h \). \( S = 8 \times 5 = 40 \).

Ответ: а) 42; б) 96; в) 8; г) 40.