42. Докажите, что прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является квадратом.

Пусть диагонали прямоугольника пересекаются в точке O и взаимно перпендикулярны. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому половины диагоналей равны попарно. Получаются прямоугольные треугольники с равными катетами, следовательно, соответствующие стороны прямоугольника равны.

Прямоугольник является параллелограммом. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. Поэтому все стороны данного прямоугольника равны. Он одновременно прямоугольник и ромб, значит, по определению является квадратом.