420. Решите уравнения: а) \(x=\sqrt[3]{x^3+x^2-6x+8}\); б) \(x-2=\sqrt[3]{x^2-8}\); в) \(x=\sqrt[3]{x^3-x^2-8x+20}\); г) \(x+1=\sqrt[3]{x^3+2x^2+x}\).

а) Возводим обе части в куб: \(x^3=x^3+x^2-6x+8\). Сокращаем \(x^3\): \(x^2-6x+8=0\), то есть \((x-2)(x-4)=0\). Кубический корень определён при любых действительных значениях, поэтому оба корня подходят.

б) Возводим обе части в куб: \((x-2)^3=x^2-8\). После раскрытия скобок и переноса получаем \(x^3-7x^2+12x=0\), то есть \(x(x-3)(x-4)=0\). Все три корня подходят.

в) Возводим обе части в куб: \(x^3=x^3-x^2-8x+20\). Сокращаем \(x^3\): \(x^2+8x-20=0\), откуда \(x=2\) или \(x=-10\). Оба значения подходят.

г) Возводим обе части в куб: \((x+1)^3=x^3+2x^2+x\). Раскрываем скобки и упрощаем: \(x^2+2x+1=0\), то есть \((x+1)^2=0\). Следовательно, \(x=-1\).

Ответ: а) 2, 4; б) 0, 3, 4; в) −10, 2; г) −1.