433. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) 18/(2√3+3); б) 11/(3√5−1); в) 16/(√2+√(3+1)); г) 1/(√5+√(3−√2)); д) 1/(2+√2+√(5+√10)) [прочтение д) не вполне надёжно]; е) [числовые данные обрезаны].

Видимые пункты а)–г) и прочтение д) рационализируем последовательно, используя сопряжённые выражения.

1. а) \(\dfrac{18}{2\sqrt{3}+3}\cdot\dfrac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}-3}=\dfrac{18(2\sqrt{3}-3)}{12-9}=6(2\sqrt{3}-3)=12\sqrt{3}-18\).
2. б) \(\dfrac{11}{3\sqrt{5}-1}\cdot\dfrac{3\sqrt{5}+1}{3\sqrt{5}+1}=\dfrac{11(3\sqrt{5}+1)}{45-1}=\dfrac{3\sqrt{5}+1}{4}\).
3. в) Так как \(\sqrt{3+1}=2\), получаем \(\dfrac{16}{\sqrt{2}+2}\cdot\dfrac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=8(2-\sqrt{2})\).
4. г) Обозначим \(t=\sqrt{3-\sqrt{2}}\). Тогда \(\dfrac{1}{\sqrt{5}+t}\cdot\dfrac{\sqrt{5}-t}{\sqrt{5}-t}=\dfrac{\sqrt{5}-t}{5-(3-\sqrt{2})}=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2}}\). Ещё раз домножаем на сопряжённое: \(\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2}}\cdot\dfrac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\dfrac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{2}})}{2}\).
5. д) Если знаменатель прочитан как \(2+\sqrt{2}+\sqrt{5+\sqrt{10}}\), то рационализацию можно выполнить последовательно. Положим \(u=\sqrt{5+\sqrt{10}}\). Тогда \(\dfrac{1}{2+\sqrt{2}+u}\cdot\dfrac{2+\sqrt{2}-u}{2+\sqrt{2}-u}=\dfrac{2+\sqrt{2}-u}{(2+\sqrt{2})^2-(5+\sqrt{10})}=\dfrac{2+\sqrt{2}-u}{1+3\sqrt{2}}\). Домножая на \(1-3\sqrt{2}\), получаем \(\dfrac{(2+\sqrt{2}-u)(1-3\sqrt{2})}{-17}\).

Пункт д) следует сверить с оригиналом: из-за размытости изображения границы корня могут быть прочитаны иначе. Пункт е) выполнить нельзя — его числитель и знаменатель обрезаны. Пришлите целиком правую часть строки.