446. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол 30° с плоскостью боковой грани и угол 45° с боковым ребром. Найдите объём параллелепипеда.

Перпендикулярная к плоскости боковой грани составляющая диагонали равна 18 · sin 30° = 9 см. Это одно из рёбер.

Проекция диагонали на плоскость грани равна 18 · cos 30° = 9√3 см. Угол диагонали с боковым ребром составляет 45°, поэтому длина этого ребра равна 18 · cos 45° = 9√2 см.

Пусть третье ребро равно x. По теореме Пифагора для проекции диагонали на грань: x² + (9√2)² = (9√3)². Следовательно, x² = 81 и x = 9 см.

Тогда объём: V = 9 · 9 · 9√2 = 729√2 см³.

Ответ: 729√2 см³.