477. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°. (Правая часть условия обрезана; прочитано, что перпендикуляр проведён из N к MQ.)

Решение ниже предполагает, что перпендикуляр проведён из вершины N и NH ⟂ MQ, как следует из видимой записи угла MNH. Если в обрезанной части указано иное, пришлите её для уточнения.

1. Так как H лежит на MQ, длина стороны MQ равна MH + HQ = 3 + 5 = 8 см. Противоположная сторона NP равна MQ.

2. Треугольник MNH прямоугольный при H. В нём MH = 3 см — сторона, лежащая напротив угла 30°. Поэтому MN = 2MH = 6 см. Противоположная сторона PQ также равна 6 см.

3. В прямоугольном треугольнике MNH ∠NMH = 180° − 90° − 30° = 60°. Поскольку MH лежит на MQ, это угол M параллелограмма. Соседний угол N равен 120°; противоположные углы равны.

Ответ: MQ = NP = 8 см, MN = PQ = 6 см; ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 120°.