478. Используя равносильные преобразования, упростите выражение при допустимых значениях переменных: а) 2(a + 3)/(a + 3); б) p(p − q)/(5q(p − q)); в) (m − n)/(7(n − m)); г) (x² − xy)/(y² − xy); д) (3bc − c²)/(−bc + 3b²); е) (an + 5ad)/(5d²n + dn²); ж) (km − 7k)/(4kbm) · 8m²/(m² − 7m); з) (xy + xz)/(xz − z²) · (xz − x²)/(y² + yz).

Раскладываем числители и знаменатели на множители, сокращаем общие множители и сохраняем ограничения исходных выражений.

1. а) \(\frac{2(a+3)}{a+3}=2\), где \(a\ne-3\).
2. б) \(\frac{p(p-q)}{5q(p-q)}=\frac{p}{5q}\), где \(q\ne0\), \(p\ne q\).
3. в) \(\frac{m-n}{7(n-m)}=-\frac17\), где \(m\ne n\).
4. г) \(\frac{x^2-xy}{y^2-xy}=\frac{x(x-y)}{y(y-x)}=-\frac{x}{y}\), где \(y\ne0\), \(y\ne x\).
5. д) \(\frac{3bc-c^2}{-bc+3b^2}=\frac{c(3b-c)}{b(3b-c)}=\frac cb\), где \(b\ne0\), \(c\ne3b\).
6. е) \(\frac{an+5ad}{5d^2n+dn^2}=\frac{a(n+5d)}{dn(n+5d)}=\frac{a}{dn}\), где \(d\ne0\), \(n\ne0\), \(n\ne-5d\).
7. ж) \(\frac{k(m-7)}{4kbm}\cdot\frac{8m^2}{m(m-7)}=\frac2b\), где \(k\ne0\), \(b\ne0\), \(m\ne0,7\).
8. з) \(\frac{x(y+z)}{z(x-z)}\cdot\frac{x(z-x)}{y(y+z)}=-\frac{x^2}{yz}\), где \(z\ne0\), \(x\ne z\), \(y\ne0\), \(y\ne-z\).

Ответ: а) \(2\); б) \(\frac{p}{5q}\); в) \(-\frac17\); г) \(-\frac{x}{y}\); д) \(\frac cb\); е) \(\frac{a}{dn}\); ж) \(\frac2b\); з) \(-\frac{x^2}{yz}\), при указанных ограничениях.