48*. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью v₁ = 10 м/с, а вторую половину пути со скоростью v₂ = 15 м/с. Найти среднюю скорость на всём пути. Доказать, что средняя скорость меньше среднего арифметического значений v₁ и v₂.

Пусть весь путь равен \(2s\). Тогда каждая его половина равна \(s\).

1. Время на первую половину: \(t_1 = s/10\).

2. Время на вторую половину: \(t_2 = s/15\).

3. Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время:

   \[v_{ср} = \frac{2s}{\frac{s}{10}+\frac{s}{15}} = \frac{2}{\frac{1}{10}+\frac{1}{15}} = 12\text{ м/с}.\]

4. Среднее арифметическое данных скоростей равно \((10+15)/2 = 12.5\) м/с, а \(12 < 12.5\). В общем случае для положительных \(v_1 \ne v_2\) средняя скорость при равных участках пути равна \(2v_1v_2/(v_1+v_2)\). Она меньше среднего арифметического, поскольку \[\frac{v_1+v_2}{2} - \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} = \frac{(v_1-v_2)^2}{2(v_1+v_2)} > 0.\]

Ответ: 12 м/с; это меньше среднего арифметического 12.5 м/с.