48. На рисунке 95 AB ⊥ AK, ∠2 : ∠1 = 7 : 9, AM — биссектриса угла ВАК. Найдите угол МАС.

Решение:

1. Так как \( AB \perp AK \), то \( \angle BAK = 90^{\circ} \).
2. Пусть \( \angle 2 = 7x \) и \( \angle 1 = 9x \).
3. Сумма углов \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) равна углу \( \angle BAK \): \( \angle 1 + \angle 2 = \angle BAK \)
4. \( 9x + 7x = 90^{\circ} \)
5. \( 16x = 90^{\circ} \)
6. \( x = \frac{90^{\circ}}{16} = \frac{45^{\circ}}{8} \)
7. \( \angle 2 = 7x = 7 \cdot \frac{45^{\circ}}{8} = \frac{315^{\circ}}{8} \).
8. \( \angle 1 = 9x = 9 \cdot \frac{45^{\circ}}{8} = \frac{405^{\circ}}{8} \).
9. Так как \( AM \) — биссектриса \( \angle BAK \), то \( \angle BAM = \angle MAC = \frac{\angle BAK}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
10. Угол \( \angle MAC \) является искомым.

Ответ: \( 45^{\circ} \).