487. Диагональ равнобедренной трапеции равна a. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон равнобедренной трапеции.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, а K, L, M, N — середины её сторон. По теореме Вариньона четырёхугольник KLMN является параллелограммом.

В треугольнике ABC отрезок KL соединяет середины двух сторон, поэтому он параллелен диагонали AC и равен её половине:

\[KL=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}.\]

Так как трапеция равнобедренная, её диагонали равны: \(AC=BD=a\). Поэтому каждая сторона параллелограмма KLMN равна половине одной из диагоналей трапеции, то есть \(\frac a2\).

Следовательно, его периметр равен:

\[P=4\cdot\frac a2=2a.\]

Ответ: \(2a\).