488. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых, пересекающихся в точке O, отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Пусть две прямые пересекаются в точке O. На первой прямой последовательно отмечены точки A₁, A₂, …, Aₙ так, что

\[OA_1=A_1A_2=\dots=A_{n-1}A_n=d.\]

Через точки A₁, A₂, …, Aₙ проведены параллельные прямые, пересекающие вторую прямую в точках B₁, B₂, …, Bₙ.

1. Рассмотрим треугольники OAᵢBᵢ. Они подобны, поскольку имеют общий угол при O, а углы при точках Aᵢ и Bᵢ равны как соответственные углы при параллельных прямых.
2. Из подобия треугольников следует, что существует постоянное число \(k\), для которого \(OB_i=k\cdot OA_i\).
3. Так как \(OA_i=i\cdot d\), получаем \(OB_i=k\cdot i\cdot d\).
4. Тогда расстояние между соседними точками на второй прямой равно:

\[B_iB_{i+1}=OB_{i+1}-OB_i=k(i+1)d-kid=kd.\]

Это значение не зависит от номера i. Следовательно, все отрезки \(B_1B_2, B_2B_3,\dots,B_{n-1}B_n\) равны.

Ответ: параллельные прямые отсекают на второй пересекающейся прямой равные отрезки.