№ 49. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 100 см³. Найдите его измерения, если длина в 3 раза больше ширины, а высота на 27,4 см меньше длины. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Обозначим ширину через x см. Тогда длина равна 3x см, высота — 3x − 27,4 см.

Используем формулу объёма:

x · 3x · (3x − 27,4) = 100.

По условию положительные измерения должны удовлетворять этой формуле, но допустимых измерений не существует: поскольку высота положительна, x > 27,4/3, и тогда объём больше (27,4/3) · 3(27,4/3) · 0 = 0; однако уравнение требует конкретного значения. Проверим функцию объёма: при x = 27,4/3 объём равен 0, а при больших x он возрастает непрерывно и может достигнуть 100, следовательно измерения существуют. Уравнение кубическое, его положительный корень можно найти численно: x ≈ 3,005? Это меньше 27,4/3, поэтому высота отрицательна. При x > 9,133 объём уже значительно больше 100. Следовательно, решения нет.

Действительно, при положительной высоте необходимо x > 9,133…, и объём возрастает от 0, поэтому при некотором значении он равен 100. Следовательно, исходное утверждение об отсутствии решения неверно; для вычисления точных измерений требуется решить кубическое уравнение. Из условия нельзя получить простые измерения без дополнительного уточнения, а площадь поверхности поэтому однозначно не указана.