49. Под каким углом к горизонту необходимо бросить тело, чтобы максимальная высота подъёма была в 3 раза меньше его дальности?

Пусть начальная скорость тела равна \(v_0\), угол броска — \(\alpha\), ускорение свободного падения — \(g\).

Максимальная высота подъёма: \(H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\). Дальность полёта: \(L=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}\).

По условию высота в 3 раза меньше дальности: \(H=\frac{L}{3}\). Подставим формулы и сократим общие множители:

\(\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{3g}\), откуда \(3\sin^2\alpha=2\sin 2\alpha=4\sin\alpha\cos\alpha\).

Для ненулевого угла делим на \(\sin\alpha\): \(3\sin\alpha=4\cos\alpha\), поэтому \(\tan\alpha=\frac{4}{3}\).

Ответ: \(\alpha=\arctan\frac{4}{3}\approx 53.1^\circ\).