492. Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, где AD ∥ BC, а боковые стороны AB и CD равны.

а) Углы при каждом основании равны. Опустим перпендикуляры из B и C на основание AD. Получившиеся прямоугольные треугольники имеют равные гипотенузы AB и CD, а их высоты равны как расстояния между параллельными прямыми. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. Поэтому соответствующие углы при основании AD равны: \(\angle A=\angle D\). Поскольку односторонние углы при боковых сторонах дополняют друг друга до 180°, из \(\angle A=\angle D\) следует \(\angle B=\angle C\).

б) Диагонали равны. Рассмотрим треугольники BAD и CDA. У них \(BA=CD\) (боковые стороны равнобедренной трапеции), \(AD\) — общая сторона, а \(\angle BAD=\angle CDA\) по доказанному свойству. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому соответствующие диагонали равны: \(BD=AC\).