494 Случайная величина Z распределена по стандартному нормальному закону: Z ~ N(0, 1). По таблице функции Ф(х) или с помощью электронной таблицы найдите вероятность события:

Решение:

Стандартный нормальный закон означает, что математическое ожидание \( \mu = 0 \), а стандартное отклонение \( \sigma = 1 \). Функция \( \Phi(x) \) в данном случае является функцией распределения стандартного нормального закона, то есть \( \Phi(x) = P(Z \le x) \).

а) \( -2 < Z \)

Вероятность \( P(-2 < Z) \) можно найти как \( 1 - P(Z \le -2) \) или \( 1 - \Phi(-2) \).

Из таблицы \( \Phi(-2) \approx 0,0228 \).

\( P(-2 < Z) = 1 - 0,0228 = 0,9772 \).

б) \( 0 \le Z \le 2 \)

Вероятность \( P(0 \le Z \le 2) \) равна \( \Phi(2) - \Phi(0) \).

Из таблицы \( \Phi(2) \approx 0,9772 \).

\( \Phi(0) = 0,5 \) (поскольку распределение симметрично относительно 0).

\( P(0 \le Z \le 2) = 0,9772 - 0,5 = 0,4772 \).

в) \( |Z| \le 1,5 \)

Условие \( |Z| \le 1,5 \) означает \( -1,5 \le Z \le 1,5 \).

Вероятность \( P(-1,5 \le Z \le 1,5) \) равна \( \Phi(1,5) - \Phi(-1,5) \).

Из таблицы \( \Phi(1,5) \approx 0,9332 \) и \( \Phi(-1,5) \approx 0,0668 \).

\( P(|Z| \le 1,5) = 0,9332 - 0,0668 = 0,8664 \).

г) \( -1,2 \le Z \le 0 \)

Вероятность \( P(-1,2 \le Z \le 0) \) равна \( \Phi(0) - \Phi(-1,2) \).

Из таблицы \( \Phi(-1,2) \approx 0,1151 \).

\( \Phi(0) = 0,5 \).

\( P(-1,2 \le Z \le 0) = 0,5 - 0,1151 = 0,3849 \).

Ответ:

• а) \( P(-2 < Z) \approx 0,9772 \)
• б) \( P(0 \le Z \le 2) \approx 0,4772 \)
• в) \( P(|Z| \le 1,5) \approx 0,8664 \)
• г) \( P(-1,2 \le Z \le 0) \approx 0,3849 \)