5*. Докажите, что AC || BD, если CB - биссектриса угла ACD, а ΔBCD - равнобедренный с основанием BC.

1. Поскольку треугольник BCD равнобедренный с основанием BC, углы при основании равны, то есть ∠CBD = ∠CDB.
2. CB является биссектрисой угла ACD, значит, ∠ACB = ∠BCD.
3. Пусть ∠CBD = ∠CDB = x. Тогда ∠BCD = x. Так как ∠ACB = ∠BCD, то и ∠ACB = x.
4. Рассмотрим углы ∠ACD. Так как CB является биссектрисой, ∠ACD = ∠ACB + ∠BCD = x + x = 2x.
5. Так как сумма углов в треугольнике BCD равна 180°, то ∠BCD + ∠CBD + ∠CDB = 180°. Подставив значения, имеем: x + x + x = 180°, откуда 3x = 180°, следовательно, x=60. Таким образом, ∠BCD = ∠CDB = ∠CBD = 60°.
6. Поскольку ∠ACD = 2x = 2*60 =120°. И ∠ACB = x=60°.
7. Рассмотрим углы ∠ACB и ∠CBD. Они являются накрест лежащими углами при пересечении прямых AC и BD секущей CB. Так как ∠ACB = ∠CBD=60°, и накрест лежащие углы равны, то прямые AC и BD параллельны, то есть AC || BD.