5*. Точка D лежит внутри треугольника PRS. Найдите \(\angle RDS\), если RS = PS, DP = DR, \(\angle RDP = 100^\circ\).

Дано: Точка D внутри треугольника PRS, RS = PS, DP = DR, \(\angle RDP = 100^\circ\). Нужно найти: \(\angle RDS\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(\triangle DPR\). Так как DP = DR, то \(\triangle DPR\) - равнобедренный с основанием PR. Следовательно, \(\angle DPR = \angle DRP\). 2. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому в треугольнике \(\triangle DPR\): \(\angle DPR + \angle DRP + \angle RDP = 180^\circ\). 3. Так как \(\angle DPR = \angle DRP\), то \(2 \cdot \angle DPR + 100^\circ = 180^\circ\). 4. Отсюда \(2 \cdot \angle DPR = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\), и \(\angle DPR = \angle DRP = 40^\circ\). 5. Рассмотрим треугольник \(\triangle PRS\). Так как RS = PS, то \(\triangle PRS\) - равнобедренный с основанием PR. Следовательно, \(\angle PRS = \angle SPR\). 6. Пусть \(\angle PRS = \angle SPR = x\). Так как \( \angle RPS = \angle RPD + \angle DPS\), то \(x = 40^\circ + \angle DPS\). Но мы не знаем \( \angle DPS\), так что нужно использовать другой путь. 7. Так как RS=PS, то углы \( \angle PRS = \angle SRP\). Рассмотрим треугольник \( \triangle RSP\). Так как RS=PS, \(\angle SRP = \angle SPR\). Пусть эти углы равны x. 8. Сумма углов в треугольнике равна 180. \( \angle PRS + \angle SRP + \angle RSP = 180\) или \(x+x+\angle RSP=180\). То есть \(2x+\angle RSP = 180\). 9. В треугольнике \( \triangle DRP\) мы нашли, что \(\angle DPR= \angle DRP=40\). \(\angle RSP = \angle RDP+\angle DPR+\angle DRP=100+40+40=180\). Но так не может быть. 10. Рассмотрим треугольник \( \triangle RSP\). Пусть угол \( \angle RSP\) равен y. Тогда угол \( \angle PRS\) = \( \angle SPR\)= (180-y)/2. 11. \( \angle RDP=100\), тогда \( \angle PDR = 100\), \( \angle DRP= \angle DPR=(180-100)/2=40\). 12. \( \angle RDS = \angle SRP - \angle DRP = 40\). 13. Поскольку RS=PS, \( \angle SRP= \angle SPR\), и в треугольнике RSP, пусть \( \angle SPR= x\), \( \angle SRP = x\). \( \angle RSP= y\). 14. Тогда 2x+y=180. Так же мы нашли что \( \angle RDP=100\), \( \angle DRP=40\). 15. Тогда \( \angle RDS = \angle SRP - \angle DRP = x -40\). 16. \( \angle RDS = 100-40=60\). Ответ: \(\angle RDS = 60^\circ\).