5. (1 балл) На основании основного логарифмического тождества найдите значение выражения \(9^{\log_3 7}\).

Решение:

Основное логарифмическое тождество имеет вид: \( a^{\log_a b} = b \).

Наше выражение: \( 9^{\log_3 7} \).

Представим основание степени \( 9 \) как \( 3^2 \):

\( (3^2)^{\log_3 7} \)

Используя свойство степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \), получаем:

\( 3^{2 \cdot \log_3 7} \)

Используя свойство логарифма \( k \cdot \log_a b = \log_a b^k \), получаем:

\( 3^{\log_3 7^2} \)

\( 3^{\log_3 49} \)

Теперь применяем основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \), где \( a = 3 \) и \( b = 49 \):

\( 3^{\log_3 49} = 49 \).

Ответ: 49.