5. (1 балл) Найдите корни уравнения: a) \(\frac{64}{27}\)^{x-2} = \(\left\)\(\frac{3}{4}\right\)^3; 6) \(\log\)_3 x + \(\log\)_9 x + \(\log\)_{81} x = 7; B) \(\frac{x-3}{x}\) - \(\frac{x+3}{x-3}\) = 2.

Решение:

a)

1. Приведём обе части уравнения к основанию 3: \(\left(\frac{4^3}{3^3}\right)^{x-2} = \left(\frac{3}{4}\right)^3\)
2. \(\left(\left(\frac{4}{3}\right)^3\right)^{x-2} = \left(\frac{3}{4}\right)^3\)
3. \(\left(\frac{4}{3}\right)^{3(x-2)} = \left(\frac{3}{4}\right)^3\)
4. \(\left(\frac{4}{3}\right)^{3x-6} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-3}\)
5. Приравняем показатели степени: \(3x - 6 = -3\)
6. \(3x = 3\)
7. \(x = 1\)

6)

1. Приведём все логарифмы к основанию 3: \(\log_3 x + \frac{\log_3 x}{\log_3 9} + \frac{\log_3 x}{\log_3 81} = 7\)
2. \(\log_3 x + \frac{\log_3 x}{2} + \frac{\log_3 x}{4} = 7\)
3. Вынесем \(\log_3 x\) за скобки: \(\log_3 x \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 7\)
4. \(\log_3 x \left(\frac{4+2+1}{4}\right) = 7\)
5. \(\log_3 x \cdot \frac{7}{4} = 7\)
6. \(\log_3 x = 7 \cdot \frac{4}{7} = 4\)
7. \(x = 3^4 = 81\)

B)

1. Приведём к общему знаменателю \(x(x-3)\): \(\frac{(x-3)^2 - x(x+3)}{x(x-3)} = 2\)
2. \(\frac{x^2 - 6x + 9 - (x^2 + 3x)}{x^2 - 3x} = 2\)
3. \(\frac{x^2 - 6x + 9 - x^2 - 3x}{x^2 - 3x} = 2\)
4. \(\frac{-9x + 9}{x^2 - 3x} = 2\)
5. \(-9x + 9 = 2(x^2 - 3x)\)
6. \(-9x + 9 = 2x^2 - 6x\)
7. \(2x^2 + 3x - 9 = 0\)
8. Решим квадратное уравнение: \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81\)
9. \(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5\)
10. \(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 9}{4} = \frac{-12}{4} = -3\)
11. Проверим ОДЗ: \(x \neq 0\) и \(x \neq 3\). Оба корня подходят.

Ответ: a) x = 1; 6) x = 81; B) x₁ = 1.5, x₂ = -3.