6. (2 балла) Решите тригонометрическое уравнение: a) (2cos x - 1)(sin x + 1) = 0; 6) 2sin² x + 3cos x = 0; B) sin x - 2cos x = 0.

Решение:

a)

1. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
2. 1) \(2\cos x - 1 = 0\) \(\Rightarrow\cos x = \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)
3. 2) \(\sin x + 1 = 0\) \(\Rightarrow \sin x = -1\) \(\Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)

6)

1. Заменим \(\sin^2 x\) на \(1 - \cos^2 x\): \(2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0\)
2. \(2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0\)
3. \(2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0\)
4. Сделаем замену \(y = \cos x\): \(2y^2 - 3y - 2 = 0\)
5. Решим квадратное уравнение: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\)
6. \(y_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2\) (не подходит, так как \(\cos x \leq 1\))
7. \(y_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5\)
8. \(\cos x = -0.5\) \(\Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\)

B)

1. Разделим обе части уравнения на \(\cos x\) (предварительно проверив, что \(\cos x \neq 0\). Если \(\cos x = 0\), то \(\sin x = \pm 1\), и \(\sin x - 2\cos x = \pm 1 \neq 0\), значит \(\cos x \neq 0\)).
2. \(\frac{\sin x}{\cos x} - 2 = 0\)
3. \(\operatorname{tg} x - 2 = 0\)
4. \(\operatorname{tg} x = 2\)
5. \(x = \operatorname{arctg}(2) + \pi p, p \in \mathbb{Z}\)

Ответ: a) \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z}\); 6) \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\); B) \(x = \operatorname{arctg}(2) + \pi p, p \in \mathbb{Z}\).