5.1. Три прямые AB, CD и NM пересекаются в точке O (рис. 1). Докажите, что CD ⟂ NM, если: 1) ∠NOD = ∠NOA + ∠BOD; 2) ∠AOC : ∠COM : ∠MOB = 1 : 2 : 1.

1) Так как OA и OB — противоположные лучи, а OC и OD — противоположные лучи, углы ∠BOD и ∠AOC вертикальные, поэтому они равны.

По условию ∠NOD = ∠NOA + ∠AOC. На рисунке луч OA лежит внутри угла NOC, поэтому ∠NOA + ∠AOC = ∠NOC. Значит, ∠NOD = ∠NOC. Углы NOD и NOC смежные, следовательно, их сумма равна 180°. Равные смежные углы составляют по 90°.

Итак, ∠NOD = 90°. Поскольку лучи OD и OC противоположны, а ON и OM противоположны, угол между прямыми CD и NM прямой. Следовательно, CD ⟂ NM.

2) Пусть ∠AOC = x. По отношению углов ∠AOC : ∠COM : ∠MOB = 1 : 2 : 1 получаем ∠COM = 2x. Лучи OA и OB противоположны, поэтому эти три угла составляют развёрнутый угол:

\(x+2x+x=180^\circ\), откуда \(4x=180^\circ\) и \(x=45^\circ\).

Значит, ∠COM = 90°. Углы COM и DON вертикальные, следовательно, ∠DON = 90°. Так как OD лежит на CD, а ON — на NM, то CD ⟂ NM.