5. (2 балла) Найдите производную функции: 1) \( f(x) = -2x^4 + 5\sqrt{x} - 48 \); 2) \( f(x) = \frac{x^2}{e^x} \).

Решение:

1. \( f'(x) = (-2x^4 + 5x^{1/2} - 48)' = -2 \cdot 4x^3 + 5 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 0 = -8x^3 + \frac{5}{2\sqrt{x}} \)
2. \( f(x) = \frac{x^2}{e^x} \) — используем правило для производной частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
   \( u = x^2 \implies u' = 2x \)
   \( v = e^x \implies v' = e^x \)
   \( f'(x) = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(2x - x^2)}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x} \)

Ответ: 1) \( f'(x) = -8x^3 + \frac{5}{2\sqrt{x}} \); 2) \( f'(x) = \frac{2x - x^2}{e^x} \).