5. 2^{x+1} + \(\frac{1}{2}\) * 2^x < 5

Решение:

1. Преобразуем первое слагаемое: \( 2^{x+1} = 2^x * 2^1 = 2 * 2^x \).
2. Подставим в неравенство: \( 2 * 2^x + \frac{1}{2} * 2^x < 5 \).
3. Введём замену: пусть \( y = 2^x \). Тогда неравенство примет вид: \( 2y + \frac{1}{2}y < 5 \).
4. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{4y + y}{2} < 5 \) \( \frac{5y}{2} < 5 \).
5. Решим неравенство относительно \( y \): \( 5y < 10 \) \( y < 2 \).
6. Вернёмся к замене: \( 2^x < 2 \).
7. Так как основание \( 2 > 1 \), то \( x < 1 \).

Ответ: x < 1.