5.3. В равнобедренной трапеции ABCD (AD ∥ BC, AB = CD) диагональ AC является биссектрисой острого угла A. 1) Докажите, что боковая сторона AB равна меньшему основанию BC. 2) Найдите периметр трапеции, если большее основание AD = 18 см, а ∠A = 60°. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

1) Пусть ∠BAC = ∠CAD = α, поскольку AC — биссектриса угла A. Из параллельности AD ∥ BC следует, что ∠ACB = ∠CAD = α. Значит, в △ABC углы при A и C равны, поэтому противоположные им стороны равны: AB = BC. Это и требовалось доказать.

2) Так как ∠A = 60°, то ∠BAC = ∠CAD = 30°. Обозначим AB = BC = x. Высота трапеции равна x sin 60° = x√3/2. Горизонтальная проекция диагонали AC равна высота / tan 30° = 3x/2. Но эта проекция также равна BC + x/2 = 3x/2; равнобедренная трапеция имеет одинаковые отступы оснований по x/2. Поэтому AD = BC + x = 2x. Из AD = 18 см получаем x = 9 см. Следовательно, AB = CD = BC = 9 см, а периметр P = 18 + 9 + 9 + 9 = 45 см.

Ответ: 1) AB = BC; 2) 45 см.